解法：怀尔斯利用泰勒–怀尔斯方法给出的模性证明(1994年)

第 9/11 步：形变环

R

与赫克代数

\mathbb{T}

R = \mathbb{T}

表述

上一步下一步

通俗地说

一旦已知 mod- $p$ 表示 $\rho_0 = \overline{\rho}_{E,p}$ ( $p = 3$ 或 $p = 5$ )是模的,如何证明 $E$ 的完整 $p$ -进表示 $\rho_{E,p}$ 也是模的?巴里·马祖尔与安德鲁·怀尔斯没有孤立地检验 $\rho_{E,p}$ ,而是将 $\rho_0$ 具有受控分歧的所有可能 $p$ -进提升打包进一个总环——泛形变环 $R_{\Sigma}$ 。

在另一侧,所有模 $p$ 投影等于 $\rho_0$ 的模形式被打包进第二个环——赫克代数 $\mathbb{T}_{\Sigma}$ 。由于每个模提升首先都是一个伽罗瓦提升,自然存在满射 $\varphi_{\Sigma}: R_{\Sigma} \twoheadrightarrow \mathbb{T}_{\Sigma}$ 。证明 $\rho_0$ 的每个合法提升都来自模形式,完全等价于证明 $\varphi_{\Sigma}$ 是同构: $R_{\Sigma} \cong \mathbb{T}_{\Sigma}$ ,即著名的 $R = \mathbb{T}$ 定理。

\varphi_{\Sigma}: R_{\Sigma} \twoheadrightarrow \mathbb{T}_{\Sigma}, \quad \text{every lifting of } \rho_0 \text{ is modular } \iff R_{\Sigma} \xrightarrow{\sim} \mathbb{T}_{\Sigma}

详细分析

在 Wiles (1995, 第454–460页)第1章中,设 $\Sigma$ 是包含 $p$ 的有限素数集, $\rho_0: \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}_{\Sigma}/\mathbb{Q}) \to \operatorname{GL}_2(k)$ 是特征 $p$ 有限域 $k$ 上的不可约模表示。在常情形下利用巴里·马祖尔的形变理论(1989年),在平坦情形下利用拉维·拉马克里希纳的定理(1993年),存在完备诺特局部环 $R_{\Sigma}$ 及泛形变 $\rho_{\Sigma}: \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}_{\Sigma}/\mathbb{Q}) \to \operatorname{GL}_2(R_{\Sigma})$ ,它分类了 $\rho_0$ 在 $p$ 处具有指定局部性质且仅在 $\Sigma$ 内分歧的所有提升。

在 Wiles (1995)第2章中,设 $\mathbb{T}_{\Sigma}$ 是由作用在适当水平权 $2$ 尖点形式上的赫克算子 $T_q$ ( $q \notin \Sigma$ )生成的赫克代数在对应于 $\rho_0$ 的极大理想 $\mathfrak{m}$ 处的完备化。由于 $\mathbb{T}_{\Sigma}$ 上的模伽罗瓦表示满足形变条件, $R_{\Sigma}$ 的泛性质诱导出局部环的满同态 $\varphi_{\Sigma}: R_{\Sigma} \twoheadrightarrow \mathbb{T}_{\Sigma}$ (Wiles 1995, 第450–451页)。

1991年春,受恩斯特·昆茨一篇交换代数论文以及约翰·泰特关于格罗滕迪克对偶性论述的启发,怀尔斯发现了一条数值判别准则(Wiles 1995 附录):到戈伦斯坦环 $\mathbb{T}_{\Sigma}$ 的满射 $\varphi_{\Sigma}: R_{\Sigma} \twoheadrightarrow \mathbb{T}_{\Sigma}$ 是完全交环的同构,当且仅当两个不变量之间满足大小界估计——即余切空间大小 $|\mathfrak{p}_R / \mathfrak{p}_R^2|$ (对偶于伽罗瓦上同调中的塞尔默群 $H^1_{\Sigma}$ )与衡量模形式间同余的同余不变量 $|\mathcal{O} / \eta_{\mathbb{T}}|$ (Wiles 1995, 第451–452页)。

本步骤中的术语

泛形变环 $R_{\Sigma}$: 由巴里·马祖尔引入的完备局部环,从它出发的同态 $R_{\Sigma} \to A$ 分类了在 $\Sigma$ 内具有允许分歧、且提升固定 mod- $p$ 表示 $\rho_0$ 的所有 $p$ -进伽罗瓦表示。
赫克代数 $\mathbb{T}_{\Sigma}$: 由作用于模形式的赫克算子 $T_q$ 生成的交换环在对应于 $\rho_0$ 的极大理想处的完备化。它的商对应于提升 $\rho_0$ 的模伽罗瓦表示。
塞尔默群: 由每个素数处的局部条件刻画出的伽罗瓦上同调群,用于度量形变环 $R_{\Sigma}$ 的切空间 $|\mathfrak{p}_R / \mathfrak{p}_R^2|$ ,从而控制 $R_{\Sigma}$ 的大小。

本步骤用到的知识

伽罗瓦理论交换代数模形式