解法：怀尔斯利用泰勒–怀尔斯方法给出的模性证明(1994年)

1985年,让-皮埃尔·塞尔将连接弗雷曲线与谷山–志村–韦伊猜想的精确机制表述为 $\varepsilon$ 猜想,肯·里贝于1986年夏给出了证明(Ribet, Inventiones Mathematicae 100, 1990; Wiles 1995, 第443页及第448页; Qiu et al. 2025, 第2.2节及第3.2.3节)。

里贝的降水平定理指出:如果 $f$ 是无平方因子水平 $N$、权 $2$ 的本征形式,且其 mod-$p$ 伽罗瓦表示 $\overline{\rho}_{f,p}$ 不可约并在某个奇素数 $q \mid N$ 处非分歧(有限平坦),那么就存在另一个水平为 $N/q$、权为 $2$ 的本征形式 $g$,其 mod-$p$ 表示与 $\overline{\rho}_{f,p}$ 同构(当 $q = p$ 时需配合马祖尔的一条定理;见 Qiu et al. 2025, 第3.2.3节)。对于 $p \ge 5$ 的弗雷曲线 $E_{a,b,c}$,每个奇素数 $q \mid N = \operatorname{rad}(abc)$ 在极小判别式中的指数都是 $p$ 的倍数,这使得 $\overline{\rho}_{E_{a,b,c},p}$ 在所有奇素数 $q \mid N$ 处都是有限平坦的。反复应用里贝定理可消去 $N$ 中的全部奇素数,最终留下水平为 $2$、权为 $2$ 的本征形式 $g \in S_2(\Gamma_0(2))$。

根据模曲线 $X_0(2)$ 上的经典维数计算,水平 $2$、权 $2$ 的尖点形式空间 $S_2(\Gamma_0(2))$ 维数为 $0$。因此 $E_{a,b,c}$ 不可能是模的。既然 $E_{a,b,c}$ 是半稳定的(第3步),里贝定理就把费马大定理归约为关于椭圆曲线的单一命题:证明 $\mathbb{Q}$ 上的每条半稳定椭圆曲线都是模的(Wiles 1995, 定理0.4 $\implies$ 定理0.5, 第448页)。