解法：怀尔斯利用泰勒–怀尔斯方法给出的模性证明(1994年)

1993年6月21日至23日,怀尔斯在剑桥艾萨克·牛顿研究所的三次讲座中宣布了一个完整证明,该证明基于对马蒂亚斯·弗拉赫某项构造的推广,通过一个欧拉系限定控制 $R_{\Sigma}$ 的塞尔默群。正如怀尔斯自己回忆的那样,“到1993年秋天,我逐渐清楚,用于推广弗拉赫方法的欧拉系构造并不完整,可能存在缺陷”(Wiles 1995, 第453页)。仔细阅读过草稿的尼克·卡茨发现了那个具体的缺口,它完全存在于证明 $R_{\Sigma}$ 与 $\mathbb{T}_{\Sigma}$ 大小相同所需的塞尔默群估计之中,而与弗雷的构造(第2步)或里贝定理(第6步)无关,这两部分从一开始就是正确的。

1994年1月,理查德·泰勒加入怀尔斯,尝试修补欧拉系论证;失败后,他们在1994年春尝试了一种基于 $p = 2$ 的新方法,到1994年8月底陷入僵局(Wiles 1995, 第453页)。1994年9月,怀尔斯回到1991年夏天的一个想法,涉及辅助素数 $q_i \equiv 1 \bmod p^{n_i}$(其中 $n_i \to \infty$),这个想法在他认为欧拉系方法正确时曾被搁置。1994年9月19日,借鉴埃胡德·德沙利特针对素数 $q \equiv 1 \bmod p$ 的一项构造,怀尔斯“灵光一闪”地看出,这些辅助水平上的赫克环可以通过伽罗瓦上同调对偶性拼接成单一的幂级数环,从而在不借助任何欧拉系的情况下,恰好给出了塞尔默群所需的界。

这项拼接技术,即泰勒–怀尔斯方法,由二人共同完成,并以 Taylor and Wiles, 'Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras,' Annals of Mathematics 141 (1995), 553–572 的形式发表,与怀尔斯的论文刊登于同一卷。两者结合,针对 $p = 3$(或经由第8步的 $p = 5$)的极小情形建立了 $R_{\Sigma} \cong \mathbb{T}_{\Sigma}$,完成了模性提升论证,证明了怀尔斯的定理0.4:$\mathbb{Q}$ 上的每条半稳定椭圆曲线都是模的。