解法：希尔–霍普金斯–拉维内尔利用等变稳定同伦论给出的证明(2009年)

威廉·布劳德(William Browder,1969年)证明,具有 Kervaire 不变量 $1$ 的光滑闭带框流形只能存在于维数 $n$,且仅当 $n = 2^{j+1} - 2$(对某个 $j$),并且仅当 Adams $E_2$ 页 $\operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^{2,2^{j+1}}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2)$(一个 mod-$2$ 斯廷罗德代数的计算)中的类 $h_j^2$ 是一个永久循环,能存活所有微分并代表球面稳定同伦群 $\pi_{2^{j+1}-2}^S$ 中一个真实的类 $\theta_j$ 时才存在。

这就把一个几何存在性问题(这样的流形是否存在?)归约为同伦论中一个纯代数的存活性问题(这唯一一个特定的类是否会在某个微分下消亡?)——而且,由于 Browder 还证明了在其他一切维数中该不变量自动为零,搜索范围被收窄到稀疏的、双指数增长的维数清单 $n = 2^{j+1}-2$ 之中。