解法：佩雷尔曼的带手术里奇流(2002–2003年),概要版

第 1/9 步：汉密尔顿的里奇流纲领

通俗地说

给形状古怪的金属板加热，温度会随时间趋于均匀。1982年，Richard Hamilton 提出对空间本身的形状做类似的事:让度量 $g_{ij}$ 按类热方程 $\partial_t g_{ij} = -2R_{ij}$ 演化，使正曲率的凸起收缩。

Hamilton 证明,若一个闭三维形状一开始处处具有正曲率,这个流会将其一路磨光成一个完美的圆球面。他所希望的是,对任意初始形状运行同一方程,最终都会显现出 Thurston 猜想每个三维流形都能分解成的那些几何构件。

\partial_t g_{ij} = -2R_{ij}, \qquad \partial_t R = \Delta R + 2|\operatorname{Ric}|^2

详细分析

Hamilton(1982年)提出让任意黎曼度量 $g_{ij}$ 在闭三维流形 $M^3$ 上按方程 $\partial_t g_{ij} = -2R_{ij}$ 演化,其中 $R_{ij}$ 是里奇曲率张量。在此流下标量曲率 $R$ 满足反应扩散方程 $\partial_t R = \Delta R + 2|\operatorname{Ric}|^2$ ,因此由极值原理,其最小值关于时间不减。

利用张量的极值原理,Hamilton 证明该流在三维中保持里奇张量的正定性,并且当 $\operatorname{Ric} > 0$ 在初始时成立时,(体积规范化后的)流对一切时间存在并光滑收敛到常正曲率度量,从而 $M^3$ 是圆球面 $S^3$ 的商空间。

Hamilton 的纲领是把这一收敛结果推广到任意闭三维流形上的任意初始度量,再结合对可能结果的拓扑分类,就能证明 Thurston 几何化猜想,以及作为单连通特例的庞加莱猜想。从下一步开始要处理的障碍是:对一般度量,流可能在到达这样理想的极限之前就在有限时间内产生奇点。

本步骤中的术语

里奇流: 沿自身里奇曲率方向形变度量的演化方程 $\partial_t g_{ij} = -2R_{ij}$ 。它使高正曲率区域收缩,如同热流使温度趋于均匀。
里奇曲率( $\operatorname{Ric}$ ): 由黎曼流形曲率构造出的对称张量,大致衡量小球体积偏离欧氏值的程度;其迹为标量曲率 $R$ 。

本步骤用到的知识

微分几何黎曼几何光滑流形