解法：对称幂的潜在自守性证明萨托–泰特猜想(2011年)

对于没有额外对称性(称为复乘)的非 CM 椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$,哈塞定理(1933年)将模素数 $p$ 计数点数中的误差项 $a_p = p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$ 限定为 $|a_p| \le 2\sqrt{p}$,因此可以写出唯一的 $\theta_p \in [0,\pi]$ 使得 $a_p = 2\sqrt{p}\,\cos\theta_p$。

萨托与泰特在1960年前后猜测,当 $p$ 变化时,角度 $\theta_p$ 会按照测度 $\frac{2}{\pi}\sin^2\theta\,d\theta$——即萨托–泰特测度——在 $[0,\pi]$ 上均匀分布,而不是人们天真设想的均匀测度;这个测度恰好就是紧群 $\mathrm{SU}(2)$ 中随机矩阵特征角的分布,暗示误差项背后隐藏着一个对称群(Mazur 2008,Bulletin AMS)。

证明这一点需要把关于无穷多个单独数字 $a_p$ 统计散布的命题,转化为关于一族解析函数的命题,这正是下一步的主题。