未解决问题，几何学, 代数学，1950年提出

霍奇猜想

未解决千禧年

设 $X$ 是 $\mathbb{C}$ 上的光滑射影代数簇。每一个有理霍奇类——即来自复系数上同调的霍奇分解、属于 $H^{2p}(X,\mathbb{Q}) \cap H^{p,p}(X)$ 的类——都是 $X$ 中余维数为 $p$ 的代数子簇的上同调类的 $\mathbb{Q}$ -线性组合。

研究前沿截至2026年

截至2026年,霍奇猜想在一般情形下仍未解决。余维数1的情形已由莱夫谢茨 $(1,1)$ 定理(1924年)完全解决,余维数等于 $\dim X$ 的情形则由庞加莱对偶显然成立。对于阿贝尔簇——因其丰富的自同态结构而长期作为重要试验场——如今已知在直到5维的每个维数上猜想都成立:塔特处理了单条椭圆曲线的幂,坦克耶夫与里贝特处理了维数为素数的单阿贝尔簇,德利涅通过其绝对霍奇闭链理论证明了CM型簇的情形,而2025年马克曼利用割线层为此前神秘的韦伊类构造出代数闭链,从而完成了4维和5维的情形。超过5维之后,以及一般(非阿贝尔)簇在更高维数的情形,尚无可比拟的方法,而且整数加强版本已知不成立(阿蒂亚–希策布鲁赫,1962年),因此任何证明都必须给出真正具有有理数系数、而非仅是拓扑系数的代数闭链。

已知最佳结果

莱夫谢茨 $(1,1)$ 定理解决了所有光滑射影簇余维数1的情形(1924年)。
对于直到5维的阿贝尔簇,该猜想已被完全证明(塔特;坦克耶夫–里贝特;德利涅;马克曼2025年,arXiv:2502.03415)。
阿蒂亚与希策布鲁赫(1962年)通过挠障碍精确指出了朴素的整数版本为何失败,从而澄清了正确的(有理数)陈述应是什么样子。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
指数层正合列 / 莱夫谢茨 $(1,1)$ 定理	通过将线丛与陈类联系起来,证明对任意光滑射影(甚至紧凯勒)簇,每个余维数1的霍奇类都是代数的。	该论证本质上只涉及线丛,无法推广到更高余维数的代数闭链。
绝对霍奇闭链(德利涅)	证明了CM型阿贝尔簇上的霍奇类是代数的,并支撑了阿贝尔簇上大多数已知情形。	依赖于复乘法或素数维数带来的额外对称性;一般的阿贝尔簇,更不用说一般的代数簇,并不具备可利用的这种结构。
韦伊型阿贝尔簇上的割线层(马克曼)	构造出代表此前难以触及的韦伊类的显式代数闭链,完成了4维和5维的情形(2025年)。	与阿贝尔簇特有的几何结构紧密相关;对于6维及以上的韦伊类,或非阿贝尔簇,尚无类似的构造方法。

尚未解决的问题

马克曼的割线层构造能否推广到6维及更高维阿贝尔簇上的韦伊类?
既然整数版霍奇猜想已被证伪,是否有结构性的理由预期有理数版霍奇猜想会在某个特殊的非阿贝尔簇上失败,还是说存在统一证明的可能?

参考文献

William V. D. Hodge (1952). The topological invariants of algebraic varieties
Michael F. Atiyah, Friedrich Hirzebruch (1962). Analytic cycles on complex manifolds · DOI:10.1016/0040-9383(62)90094-0
Eyal Markman (2025). Cycles on abelian 2n-folds of Weil type from secant sheaves on abelian n-folds · arXiv:2502.03415 [预印本,未经同行评审]
Claire Voisin (2002). Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I