解法: テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)

フェルマーの最終定理(FLT)は、すべての整数 $n > 2$ に対して $x^n + y^n = z^n$ を満たす非零整数 $x, y, z$ は存在しないと主張する。ワイルズの序文(Wiles 1995, p. 443)に記され、Qiu et al. (2025, 3.1.1節, 定理3.1)で整理されているように、指数が $n = 4$ または奇素数 $p \ge 5$ であり、かつ3つの整数が互いに素である場合について証明すれば十分である。

なぜこの帰着が成り立つのか。任意の整数 $n > 2$ は $2$ のべき乗であるか(したがって $4$ が $n$ を割り切り $n = 4m$ と書ける)、少なくとも一つの奇素数 $p$ で割り切れる($n = pm$ と書ける)。もし $x^n + y^n = z^n$ ならば、前者の場合は $(x^m)^4 + (y^m)^4 = (z^m)^4$ が指数 $4$ の解となり、後者の場合は $(x^m)^p + (y^m)^p = (z^m)^p$ が奇素数 $p$ の解となる。フェルマーは1667年頃に無限降下法によって $n = 4$ の場合を証明し、オイラーは1753年から1770年にかけて $p = 3$ を証明した(のちにルジャンドルがギャップを埋めた。Qiu et al. 2025, 2.1節を参照)。さらに、$a, b, c$ のうち2つが素因数 $q$ を共有すれば $q^p$ は残りの1つも割り切るため、$\gcd(a, b, c)^p$ で割ることで $a, b, c$ が対ごとに互いに素であると仮定できる。

この帰着により現代の証明の舞台が整う。背理法のため、ある素数 $p \ge 5$ と対ごとに互いに素な非零整数 $a, b, c$ で $a^p + b^p = c^p$ を満たすものが存在すると仮定し、次のステップでこの仮想的な三つ組から幾何学的対象を構成する。