解法: テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)

ワイルズが冒頭の段落で振り返っているように(Wiles 1995, p. 443; Qiu et al. 2025, 2.2節も参照)、この予想は1955年に谷山豊が提起した問題に端を発し、1950年代から1960年代にかけて志村五郎によって精密化された。1967年、アンドレ・ヴェイユは楕円曲線とその捻りの $L$ 級数が期待される関数等式を満たすならば、その曲線は導体 $N$ に等しいレベルのモジュラー形式に由来しなければならないことを示し、谷山・志村・ヴェイユ(TSW)予想に強力な理論的根拠を与えた。

正確には、この予想は導体 $N$ のすべての楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ がモジュラー曲線からの非定数有理写像 $X_0(N) \twoheadrightarrow E$ を持つこと、あるいは同値な言い方として $L(E, s) = L(f, s)$ を満たす重さ $2$・レベル $N$ のヘッケ固有形式 $f$ に対応することを主張する。同じ $j$ 不変量を持つ $\mathbb{Q}$ 上の2つの楕円曲線は同時にモジュラーであるか非モジュラーであり、1995年のワイルズの研究以前は、モジュラーであることが証明されていた $j$ 不変量は有限個しかなかった(Wiles 1995, p. 443)。

1985年まで、TSW予想は数論幾何学の主流に属する問題であり、フェルマーの方程式との関連は知られていなかった。フライの構成が突如として両者を結びつけた。もし半安定曲線に対してTSW予想が成り立つなら、仮想的なフライ曲線 $E_{a,b,c}$ はレベル $N = \operatorname{rad}(abc)$ でモジュラーでなければならない。