解法: テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)

$\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線 $E$ とは、右辺の3次式が相異なる3つの複素根を持つ3次方程式 $y^2 = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$ ($a_2, a_4, a_6 \in \mathbb{Q}$) の有理数解 $(x, y)$ の全体に、弦と接線による加法則の単位元として働く無限遠点 $\mathcal{O}$ を付け加えたものである(Qiu et al. 2025, 3.3.1節, 定義3.1)。

背理法のため、素数 $p \ge 5$ と対ごとに互いに素な非零整数 $a, b, c$ に対して $a^p + b^p = c^p$ がFLTの反例を与えると仮定する。イヴ・エルグアルシュ(1969年)の先駆的な構成に続き、ゲルハルト・フライ(1985/1986年)はこの仮想的な解に楕円曲線 $E_{a,b,c}: y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)$ を対応させた(Wiles 1995, 序文, p. 443 および p. 448; Qiu et al. 2025, 3.1.2節)。$a, b, c$ は非零であり $a^p + b^p = c^p \ne 0$ だから、3つの根 $r_1 = 0$, $r_2 = a^p$, $r_3 = -b^p$ はすべて異なり、$E_{a,b,c}$ は $\mathbb{Q}$ 上の非特異な楕円曲線となる。

フライの洞察は、等式 $a^p + b^p = c^p$ が $E_{a,b,c}$ の幾何学の中に埋め込まれているという点にあった。3つの根の差は $a^p - 0 = a^p$, $0 - (-b^p) = b^p$, そして $a^p - (-b^p) = a^p + b^p = c^p$ となり、どれ一つとっても完全な $p$ 乗数になっている。次のステップでは、これがどれほど異常なことかを定量化する。