解法: テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)

整数 $m \ge 1$ に対し、$m$ 分点部分群 $E[m] = \{Q \in E(\overline{\mathbb{Q}}) : mQ = \mathcal{O}\}$ は $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^2$ に同型である(Qiu et al. 2025, 3.3.1節, 定義3.2)。素数 $p$ に対して絶対ガロア群 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ は $E[p] \cong \mathbb{F}_p^2$ に作用して mod-$p$ ガロア表現 $\overline{\rho}_{E,p}: \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ を与え、さらにすべてのべき乗 $E[p^n] \cong (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^2$ にわたって整合的に作用して $p$ 進ガロア表現 $\rho_{E,p}: \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ を与える(Wiles 1995, p. 444; Qiu et al. 2025, 3.3.2節)。すべての素数 $q \nmid Np$ に対して $\operatorname{trace}\rho_{E,p}(\operatorname{Frob}_q) = a_q(E)$ が成り立つため、$E$ がモジュラーであることと $\rho_{E,p}$ がモジュラー形式に由来することは同値である。

ワイルズが序文で説明しているように(Wiles 1995, p. 444–447 および p. 449)、1986年に数ヶ月間 $2$ 進表現を調べた後の最初の 突破口は $p = 3$ への切り替えであった。射影群 $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_3)$ は可解群である対称群 $S_4$ に同型であるため、八面体表現に対するアルティン予想に関するラングランズ(1980年)とタネル(1981年)の定理から、$\overline{\rho}_{E,3}$ が既約であれば常に $\overline{\rho}_{E,3}$ はモジュラーとなる(重さ $1$ の形式から生じ、したがって重さ $2$ の固有形式と合同になる)。

これにより、ワイルズは $3$ 進塔 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \leftarrow \mathbb{Z}/3^2\mathbb{Z} \leftarrow \cdots \leftarrow \mathbb{Z}_3$ の最下層における出発点を得た。$\overline{\rho}_{E,3}$ が既約であれば、mod-$3$ の影がモジュラーであることは既知であり、あとは $\overline{\rho}_{E,3}$ のすべての半安定な $3$ 進持ち上げ $\rho_{E,3}$ がモジュラーであり続けることを示せばよい(Wiles 1995, 定理0.2および定理0.3, p. 447)。では $\overline{\rho}_{E,3}$ が可約であった場合はどうするか。そこでステップ8の $3$–$5$ 切り替えが必要になる。