解法: テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)

ワイルズは1993年6月21日から23日、ケンブリッジのアイザック・ニュートン研究所での3回の講演で完全な証明を発表した。これはマティアス・フラッハの構成の拡張を用いてオイラー系により $R_{\Sigma}$ を制御するセルマー群を評価するものであった。ワイルズ自身が振り返るように、「1993年秋、フラッハの方法を拡張するために使ったオイラー系の構成が不完全であり、欠陥がある可能性があることが明らかになった」(Wiles 1995, p. 453)。草稿を注意深く読んでいたニック・カッツが、その具体的なギャップを発見した。それは $R_{\Sigma}$ と $\mathbb{T}_{\Sigma}$ が同じ大きさであることを示すために必要なセルマー群の評価の中に完全に存在しており、フライの構成(ステップ2)やリベの定理(ステップ6)には無関係で、これらは最初から正しかった。

1994年1月、リチャード・テイラーがワイルズに加わりオイラー系の議論の修復を試みたが失敗し、1994年春には $p = 2$ を用いる新しいアプローチを試みたものの1994年8月末に行き詰まった(Wiles 1995, p. 453)。1994年9月、ワイルズは1991年夏に着想し、オイラー系のアプローチが正しいと考えて放棄していた、$n_i \to \infty$ となる補助素数 $q_i \equiv 1 \bmod p^{n_i}$ を用いるアイデアに立ち返った。1994年9月19日、$q \equiv 1 \bmod p$ なる素数に対するエフド・デシャリの構成を踏まえ、ワイルズは「閃光のように」、これら補助レベルにおけるヘッケ環がガロア・コホモロジー双対性によって1つのべき級数環に張り合わせられることを見出し、いかなるオイラー系も用いずにセルマー群に対して正確に必要な評価を与えた。

この張り合わせ技法、すなわちテイラー・ワイルズ法は、二人で共同して仕上げられ、Taylor and Wiles, 'Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras,' Annals of Mathematics 141 (1995), 553–572として、ワイルズの論文と同じ号に発表された。両者を合わせることで、$p = 3$(あるいはステップ8を経て $p = 5$)の最小の場合について $R_{\Sigma} \cong \mathbb{T}_{\Sigma}$ が確立され、モジュラー性持ち上げの議論が完成し、ワイルズの定理0.4——$\mathbb{Q}$ 上のすべての半安定楕円曲線はモジュラーである——が証明された。