解法: テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)

Wiles (1995, p. 454–460) の第1章において、$\Sigma$ を $p$ を含む有限個の素数の集合とし、$\rho_0: \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}_{\Sigma}/\mathbb{Q}) \to \operatorname{GL}_2(k)$ を標数 $p$ の有限体 $k$ 上の既約なモジュラー表現とする。通常の場合にはバリー・メイザーの変形理論(1989年)、平坦な場合にはラヴィ・ラマクリシュナの定理(1993年)を用いることで、完備ネーター局所環 $R_{\Sigma}$ と普遍変形 $\rho_{\Sigma}: \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}_{\Sigma}/\mathbb{Q}) \to \operatorname{GL}_2(R_{\Sigma})$ が存在し、$p$ での指定された局所的条件と $\Sigma$ 内の分岐を持つ $\rho_0$ のすべての持ち上げを分類する。

Wiles (1995) の第2章において、適切なレベルの重さ $2$ の尖点形式に作用するヘッケ作用素 $T_q$ ($q \notin \Sigma$) で生成されるヘッケ環を $\rho_0$ に対応する極大イデアル $\mathfrak{m}$ で局所化・完備化したものを $\mathbb{T}_{\Sigma}$ とする。$\mathbb{T}_{\Sigma}$ 上のモジュラー・ガロア表現は変形条件を満たすため、$R_{\Sigma}$ の普遍性から局所環の全射準同型 $\varphi_{\Sigma}: R_{\Sigma} \twoheadrightarrow \mathbb{T}_{\Sigma}$ が誘導される(Wiles 1995, p. 450–451)。

1991年春、エルンスト・クンツの可換環論の論文とグロタンディーク双対性に関するジョン・テイトの解説に触発されて、ワイルズは数値的判定法(Wiles 1995 の付録)を発見した。それによれば、ゴレンシュタイン環 $\mathbb{T}_{\Sigma}$ への全射 $\varphi_{\Sigma}: R_{\Sigma} \twoheadrightarrow \mathbb{T}_{\Sigma}$ が完全交叉環の同型になるための必要十分条件は、2つの不変量の間に大きさの評価が成り立つことである。すなわち、余接空間の大きさ $|\mathfrak{p}_R / \mathfrak{p}_R^2|$(ガロア・コホモロジーのセルマー群 $H^1_{\Sigma}$ の双対)と、モジュラー形式間の合同を測る合同不変量 $|\mathcal{O} / \eta_{\mathbb{T}}|$ である(Wiles 1995, p. 451–452)。