解法: テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)

楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ と良還元を持つ素数 $q \nmid \Delta$ に対し、$|E(\mathbb{F}_q)|$ を解 $(x, y) \in \mathbb{F}_q^2$ の個数に無限遠点 $\mathcal{O}$ を加えたものとし、フロベニウスのトレース $a_q(E) = q + 1 - |E(\mathbb{F}_q)|$ を定義する(Qiu et al. 2025, 3.2.1節)。これらの整数はハッセ・ヴェイユの $L$ 級数 $L(E, s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n(E) n^{-s}$ にまとめられる。

解析側では、合同部分群 $\Gamma_0(N) = \{\binom{a\ b}{c\ d} \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) : N \mid c\}$ に対する重さ $k = 2$、レベル $N$ の尖点形式 $f$ とは、上半平面上の正則関数であって $\Gamma_0(N)$ のすべての行列に対して $f((a\tau+b)/(c\tau+d)) = (c\tau+d)^2 f(\tau)$ を満たし、各尖点で消えるものである(Wiles 1995, p. 445; Qiu et al. 2025, 3.2.2節)。$f$ がすべてのヘッケ作用素 $T_n$ の固有形式、すなわち $T_n f = c(n, f) f$ であるとき、そのフーリエ展開 $f(\tau) = \sum_{n=1}^{\infty} c(n, f) e^{2\pi i n \tau}$ は算術的な固有値 $c(n, f)$ を持つ。

アイヒラーと志村の定理(Wiles 1995, p. 444–445, 定理0.1)により、導体 $N$ の楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ がモジュラーである — すなわちモジュラー曲線 $X_0(N)$ からの有限被覆を持つ — ための必要十分条件は、すべての素数 $q \nmid N$ に対して $c(q, f) = a_q(E)$ を満たす有理係数の重さ $2$、レベル $N$ のヘッケ固有形式 $f$ が存在することである。これにより3次曲線の世界とモジュラー形式の厳密な有限次元空間とが結ばれる。