解法: テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)

1985年、ジャン=ピエール・セールはフライ曲線と谷山・志村・ヴェイユ予想を結ぶ正確な仕組みを $\varepsilon$ 予想として定式化し、ケン・リベが1986年夏にこれを証明した(Ribet, Inventiones Mathematicae 100, 1990; Wiles 1995, p. 443 および p. 448; Qiu et al. 2025, 2.2節および3.2.3節)。

リベのレベル降下定理によれば、$f$ が平方因子を持たないレベル $N$・重さ $2$ の固有形式であり、その mod-$p$ ガロア表現 $\overline{\rho}_{f,p}$ が奇素数 $q \mid N$ において既約かつ不分岐(有限平坦)であるならば、レベル $N/q$・重さ $2$ の別の固有形式 $g$ が存在してその mod-$p$ 表現が $\overline{\rho}_{f,p}$ と同型になる($q = p$ のときはメイザーの定理を併用する。Qiu et al. 2025, 3.2.3節を参照)。$p \ge 5$ に対するフライ曲線 $E_{a,b,c}$ では、極小判別式におけるすべての奇素数 $q \mid N = \operatorname{rad}(abc)$ の指数が $p$ の倍数であるため、$\overline{\rho}_{E_{a,b,c},p}$ はすべての奇素数 $q \mid N$ で有限平坦となる。リベの定理を繰り返し適用すると $N$ からすべての奇素数が取り除かれ、レベル $2$・重さ $2$ の固有形式 $g \in S_2(\Gamma_0(2))$ が残る。

モジュラー曲線 $X_0(2)$ 上の古典的な次元計算により、レベル $2$・重さ $2$ の尖点形式の空間 $S_2(\Gamma_0(2))$ の次元は $0$ である。ゆえに $E_{a,b,c}$ はモジュラーではあり得ない。$E_{a,b,c}$ は半安定であるから(ステップ3)、リベの定理によってフェルマーの最終定理は楕円曲線に関するただ1つの命題 — $\mathbb{Q}$ 上のすべての半安定楕円曲線がモジュラーであることを証明せよ(Wiles 1995, 定理0.4 $\implies$ 定理0.5, p. 448) — に帰着された。