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亚太数学奥林匹克
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2005年
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第2题
第2题
设正实数 a,b,c 满足 abc=8。证明 a 的平方除以 (1+a 的立方)(1+b 的立方) 的平方根,再加上两个循环项,其和不小于 4/3。
第 2/5 步：循环应用引理
上一步
下一步
a
2
(
1
+
a
3
)
(
1
+
b
3
)
≥
2
a
2
(
2
+
a
2
)
(
2
+
b
2
)
\dfrac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}\ge\dfrac{2a^2}{(2+a^2)(2+b^2)}
(
1
+
a
3
)
(
1
+
b
3
)
a
2
≥
(
2
+
a
2
)
(
2
+
b
2
)
2
a
2
详细分析
对第一项中的 a,b 应用引理,并循环应用于另外两项。因此原左端至少等于 2a 的平方/((2+a 的平方)(2+b 的平方)) 及其循环项之和。
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