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第6题

对于满足 x1>0x_1>0、x2>0x_2>0、x1y1>z12x_1y_1>z_1^2 及 x2y2>z22x_2y_2>z_2^2 的实数 x1,x2,y1,y2,z1,z2x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2,证明 8(x1+x2)(y1+y2)−(z1+z2)2≤1x1y1−z12+1x2y2−z22\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}。求等号成立的充要条件。
第 5/8 步：合并交叉估计
上一步下一步
2a1a2≤x1y2+x2y1−2z1z22\sqrt{a_1a_2}\le x_1y_2+x_2y_1-2z_1z_2
详细分析

从加权均值估计中减去平方估计。代入 a1=x1y1−z12a_1=x_1y_1-z_1^2、a2=x2y2−z22a_2=x_2y_2-z_2^2 即得上面的交叉项估计。