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第4题

士兵要检查一个等边三角形区域内的地雷。探测器作用半径等于三角形高的一半，士兵从一个顶点出发。求检查整个区域的最短路径。
第 4/4 步：长度与覆盖
上一步下一步
通俗地说

沿折线的探测圆盘覆盖三角形区域。

L=72−34=27−34L=\frac{\sqrt7}{2}-\frac{\sqrt3}{4}=\frac{2\sqrt7-\sqrt3}{4}
详细分析

令 YY 为线段 XCXC 上满足 CY=rCY=r 的点。于是 XY=XC−rXY=XC-r，路径 A→X→YA\to X\to Y 的长度为 AX+XC−r=LAX+XC-r=L。以这两条线段为中心线、半径为 rr 的管状区域覆盖整个三角形：对应的未经过顶点到相应线段的距离不超过 rr（且 XB=CY=rXB=CY=r），其余边界位于两线段之间。因此该路径检查全域；交换 B,CB,C 得到同样长度的对称路径。