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第4题

在三角形 ABCABC 中 AB=ACAB=AC。一圆与外接圆内切，并在 AB,ACAB,AC 上分别与 P,QP,Q 相切。证明 PQPQ 的中点是三角形 ABC 的内心。
第 5/5 步：识别内心
上一步下一步
通俗地说

同轴且距离相同，所以 M 是内心。

AI=Lcos⁡α1+sin⁡α=AMAI=\frac{L\cos\alpha}{1+\sin\alpha}=AM
详细分析

三角形面积为 L2sin⁡αcos⁡αL^2\sin\alpha\cos\alpha，半周长为 L(1+sin⁡α)L(1+\sin\alpha)，所以 r=Lsin⁡αcos⁡α/(1+sin⁡α)r=L\sin\alpha\cos\alpha/(1+\sin\alpha) 且 AI=r/sin⁡α=Lcos⁡α/(1+sin⁡α)=AMAI=r/\sin\alpha=L\cos\alpha/(1+\sin\alpha)=AM。因此 MM 是内心。