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第3题

设 S S be set 的non-negative 整数s. 求出所有 函数s f:S→S f:S\to S 使得 f(m+f(n))=f(f(m))+f(n) f(m+f(n))=f(f(m))+f(n) 对所有 m,n∈S m,n\in S .
第 3/4 步:确定所有 values
通俗地说

确定所有 values

f(qk+r)=qk+nrkf(qk+r)=qk+n_rk
详细分析

F或any fixed 点 t t 译文:, write t=qk+r t=qk+r 满足 0≤r<k0\le r<k 译文:. Since f(t)=t f(t)=t 且 f(qk+r)=f(r)+qk f(qk+r)=f(r)+qk 译文:, we get f(r)=r f(r)=r ; hence fixed 点s 是precisely multiples 的 k k . Beca使用每个 f(n) f(n) 是fixed, write f(r)=nrk f(r)=n_rk 对于 0≤r<k0\le r<k , 满足 n0=0 n_0=0, 且obta中 f(qk+r)=qk+nrk f(qk+r)=qk+n_rk .