解法: テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)

Wiles (1995, p. 448) の定理0.4($\mathbb{Q}$ 上のすべての半安定楕円曲線はモジュラーである)とリベの定理(ステップ6)を組み合わせると、直ちに Wiles (1995, p. 448) の定理0.5が得られる。すなわち、$u, v, w \in \mathbb{Q}$ と素数 $p \ge 3$ に対して $u^p + v^p + w^p = 0$ ならば $uvw = 0$ である。同値な言い方として、$x^n + y^n = z^n$ を満たす非零整数 $x, y, z$ および整数 $n > 2$ は存在しない(Qiu et al. 2025, 3.1.3節)。

完全な論理の連鎖を最後に振り返ろう。(1) $n > 2$ に対するいかなる反例も、$n = 4$(フェルマーが排除)、$p = 3$(オイラーが排除)、または素数 $p \ge 5$ に対する対ごとに互いに素な反例 $a^p + b^p = c^p$ に帰着される。(2) $p \ge 5$ の互いに素な反例は、導体 $N = \operatorname{rad}(abc)$ の半安定なフライ曲線 $E_{a,b,c}: y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)$ を生み出す。(3) $p = 3$ でのラングランズ・タネルの定理、$3$–$5$ 切り替え、およびテイラー・ワイルズの張り合わせ法で証明された $R_{\Sigma} \cong \mathbb{T}_{\Sigma}$ 定理により、$\mathbb{Q}$ 上のすべての半安定楕円曲線はモジュラーであるから、$E_{a,b,c}$ はモジュラーである。(4) リベのレベル降下定理により、$E_{a,b,c}$ のモジュラー性は $S_2(\Gamma_0(2)) = \{0\}$ の中に非零な重さ $2$ の尖点形式が存在することを強いるが、これは矛盾である。

1995年5月号の Annals of Mathematics にワイルズおよびテイラー・ワイルズの論文が掲載された後、彼らが導入した手法は数論を一変させた。ブルイユ、コンラッド、ダイアモンド、テイラーは1999年に $\mathbb{Q}$ 上のすべての楕円曲線に対する完全なモジュラー性定理を証明し、カレとウィンテンベルガーは2004〜2008年にセールの完全なモジュラー性予想を証明し(FLTへの第2の現代的ルートを与えた)、さらにケヴィン・バザード率いる進行中のプロジェクト(2024年開始)が定理証明支援系 Lean において証明全体の形式化を進めている(Qiu et al. 2025, 2.3節)。