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第1题

设 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n 为正实数，且 S=x1+x2+⋯+xnS=x_1+x_2+\cdots+x_n。证明 (1+x1)(1+x2)⋯(1+xn)≤1+S+S22!+S33!+⋯+Snn!(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}。
第 1/4 步：引入基本对称和
上一步下一步
ek=∑1≤i1<⋯<ik≤nxi1⋯xik,∏i=1n(1+xi)=∑k=0neke_k=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}x_{i_1}\cdots x_{i_k},\qquad\prod_{i=1}^n(1+x_i)=\sum_{k=0}^n e_k
详细分析

令 e0=1e_0=1，并令 eke_k 为任取 kk 个不同变量之积的总和。从每个因子选择 11 或 xix_i，得到 ∏(1+xi)=e0+e1+⋯+en\prod(1+x_i)=e_0+e_1+\cdots+e_n。