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第1题

在三角形 ABCABC 中，设 D,E,FD,E,F 分别是 BC,CA,ABBC,CA,AB 的中点，GG 是重心。对于 ∠BAC\angle BAC 的每一个取值，求使四边形 AEGFAEGF 内接于圆的、彼此不相似的三角形有多少个。
第 4/5 步：排除大于 60 度的角
上一步下一步
ABAC+ACAB≥2⇒cos⁡A≥12⇒A≤60∘\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\ge2\Rightarrow\cos A\ge\frac12\Rightarrow A\le60^\circ
详细分析

由算术—几何平均不等式，正数比值与其倒数之和至少为 22。因此该条件要求 cos⁡A≥1/2\cos A\ge1/2，所以当 A>60∘A>60^\circ 时不存在这样的三角形。