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第3题

考虑所有底边 ABAB 固定且从 CC 作出的高为常数 hh 的三角形 ABCABC。其中哪个三角形的三条高之积最大？
第 1/5 步：相乘三个面积等式
上一步下一步
AB⋅h⋅AC⋅hb⋅BC⋅ha=8[ABC]3=(AB⋅h)3AB\cdot h\cdot AC\cdot h_b\cdot BC\cdot h_a=8[ABC]^3=(AB\cdot h)^3
详细分析

令 ha,hbh_a,h_b 分别为从 A,BA,B 作出的高。由面积公式，AB⋅h=AC⋅hb=BC⋅ha=2[ABC]AB\cdot h=AC\cdot h_b=BC\cdot h_a=2[ABC]。将三式相乘得到所示恒等式。由于 ABAB 和 hh 固定，右边是常数。