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第3题

考虑所有底边 ABAB 固定且从 CC 作出的高为常数 hh 的三角形 ABCABC。其中哪个三角形的三条高之积最大？
第 4/5 步：直角三角形情形
上一步下一步
h≤AB2⇒C=90∘ is attainable and sin⁡C=1h\le\frac{AB}{2}\Rightarrow C=90^\circ\text{ is attainable and }\sin C=1
详细分析

若 h≤AB/2h\le AB/2，可取高度为 hh 的点 CC 位于直径为 ABAB 的圆上；等价地，存在满足 ∠C=90∘\angle C=90^\circ 的三角形。由于 sin⁡C≤1\sin C\le1，它取得正弦的最大值，因而三高之积最大。当取等时，它是等腰直角三角形。