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第2题

对满足 0≤x≤1000\le x\le100 的实数 xx,求 f(x)=⌊x⌋+⌊2x⌋+⌊5x3⌋+⌊3x⌋+⌊4x⌋f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\left\lfloor\frac{5x}{3}\right\rfloor+\lfloor3x\rfloor+\lfloor4x\rfloor 所取得的不同整数值总数。
第 4/5 步:计算完整周期数
100=33⋅3+1⟹33⋅22 values on [0,99)100=33\cdot3+1\Longrightarrow 33\cdot22\text{ values on }[0,99)
详细分析

区间 [0,99)[0,99) 由 3333 个长度为 33 的完整周期组成。由于每个周期的函数值整体相差 3535,这些周期贡献 33⋅2233\cdot22 个互不相同的整数值。