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第1题

令 Tn=1+2+⋯+n=n(n+1)/2T_n=1+2+\cdots+n=n(n+1)/2，Sn=1/T1+1/T2+⋯+1/TnS_n=1/T_1+1/T_2+\cdots+1/T_n。证明 1/S1+1/S2+⋯+1/S1996>10011/S_1+1/S_2+\cdots+1/S_{1996}>1001。
第 2/5 步：裂项求和 SnS_n
上一步下一步
Sn=2(1−1n+1)=2nn+1,1Sn=12+12nS_n=2\left(1-\frac1{n+1}\right)=\frac{2n}{n+1},\qquad\frac1{S_n}=\frac12+\frac1{2n}
详细分析

这些差裂项相消，因此 Sn=2(1−1/(n+1))=2n/(n+1)S_n=2(1-1/(n+1))=2n/(n+1) 且 1/Sn=1/2+1/(2n)1/S_n=1/2+1/(2n)。