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第4题

求所有整数对 (m,n),使 m 的平方加 4n 与 n 的平方加 4m 都是完全平方数。
第 4/5 步:检查其余三个根
x=−1⇒n=1−m,x=2,−2⇒(m,n)=(−4,−4),(−5,−6),(−6,−5),(3,−2),(−2,3)x=-1\Rightarrow n=1-m,\qquad x=2,-2\Rightarrow (m,n)=(-4,-4),(-5,-6),(-6,-5),(3,-2),(-2,3)
详细分析

当 x=-1 时得 n=1-m,两个表达式仍为完全平方,这就是交换顺序后的同一族。x=2、-2 时,将其代入第二个完全平方条件并用平方差化简;在 |m|>=|n| 下剩下 (-4,-4)、(-5,-6)、(3,-2)。交换 m、n 再得 (-6,-5)、(-2,3)。