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第2题

设 ABCDABCD 是边长为 aa 的正方形。平面上有两条平行直线 ℓ1\ell_1 和 ℓ2\ell_2,相距 aa。放置正方形使 ABAB 和 ADAD 分别与 ℓ1\ell_1 交于 EE 和 FF,而 CBCB 和 CDCD 分别与 ℓ2\ell_2 交于 GG 和 HH。若 △AEF\triangle AEF 和 △CGH\triangle CGH 的周长为 m1m_1 和 m2m_2,证明无论怎样放置正方形,m1+m2m_1+m_2 都是常数。
第 1/4 步：确定共同旁心
上一步下一步
O=EH∩FGO=EH\cap FG
详细分析

令 O=EH∩FGO=EH\cap FG。由于 GG 到直线 FDFD 与 EFEF 的距离都为 aa,故 FGFG 平分 FF 处相应的角;同理 EHEH 平分 EE 处的角。因此 OO 是 △AEF\triangle AEF 的旁心。在 G,HG,H 处同样论证可知它也是 △CGH\triangle CGH 的旁心。