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第4题

设 a,b,ca,b,c 是满足 a+b+c=1a+b+c=1 的三角形边长,n≥2n\ge2 为整数。证明 an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2。
第 5/5 步：相加这些估计
上一步下一步
bn+cnn+cn+ann<b+c/2+a+c/2=1\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<b+c/2+a+c/2=1
详细分析

将最后两个不等式相加得到 bn+cnn+cn+ann<a+b+c=1\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<a+b+c=1。与第一项的严格估计结合即得所需不等式。