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亚太数学奥林匹克
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2004年
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第5题
第5题
证明对所有正实数 a,b,c,都有 (a 的平方加 2)(b 的平方加 2)(c 的平方加 2) 不小于 9(ab+bc+ca)。
第 5/5 步：完成证明并确定等号
上一步
下一步
(
a
2
+
2
)
(
b
2
+
2
)
(
c
2
+
2
)
≥
3
(
a
+
b
+
c
)
2
≥
9
(
a
b
+
b
c
+
c
a
)
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge3(a+b+c)^2\ge9(ab+bc+ca)
(
a
2
+
2
)
(
b
2
+
2
)
(
c
2
+
2
)
≥
3
(
a
+
b
+
c
)
2
≥
9
(
ab
+
b
c
+
c
a
)
详细分析
更强的不等式已经证明,第二个不等式来自三个差的平方和。全程等号在 a=b=c=1 时成立,这也与官方解答的等号情形一致。
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