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第5题

马戏团有 nn 个小丑，从 12 种互不相同的颜色中选色来着装和化妆。每个小丑至少使用五种不同颜色。团长要求任意两个小丑使用的颜色集合不完全相同，且每一种颜色至多被 20 个小丑使用。求可能的 nn 的最大值。
第 1/6 步：计算每种颜色的使用人数
上一步下一步
Ei={clowns using colour i},∣Ei∣≤20E_i=\{\text{clowns using colour }i\},\qquad |E_i|\le20
详细分析

对每种颜色 ii，令 EiE_i 为使用该颜色的小丑集合。条件给出每个 ii 都有 ∣Ei∣≤20|E_i|\le20，所以 ∑i=112∣Ei∣≤12⋅20\sum_{i=1}^{12}|E_i|\le12\cdot20。