第5题

一个规则的

5\times5

灯阵有故障：拨动一盏灯的开关会改变它本身以及同一行、同一列中与它相邻的每盏灯的状态。初始时所有灯都熄灭。经过若干次拨动后恰有一盏灯亮着。求这盏灯的所有可能位置。

第 1/6 步：选择第一组标号

L^{(1)}=\begin{pmatrix}1&1&0&1&1\\0&0&0&0&0\\1&1&0&1&1\\0&0&0&0&0\\1&1&0&1&1\end{pmatrix}

详细分析

用 0–1 矩阵 $L^{(1)}$ 给各格标号。定义亮灯格标号和模 2 为第一值。对任一格，由它及同一行、同一列的相邻格组成的局部十字标号和为偶数，所以该奇偶性不变。