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第5题

一个规则的 5×55\times5 灯阵有故障:拨动一盏灯的开关会改变它本身以及同一行、同一列中与它相邻的每盏灯的状态。初始时所有灯都熄灭。经过若干次拨动后恰有一盏灯亮着。求这盏灯的所有可能位置。
第 3/6 步:限制单灯位置
Lr,c(1)=Lr,c(2)=0⟺(r,c)∈{(2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4)}L^{(1)}_{r,c}=L^{(2)}_{r,c}=0\Longleftrightarrow(r,c)\in\{(2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4)\}
详细分析

若恰有格 (r,c)(r,c) 亮,则每个不变量就是该格的标号。两个奇偶性都为零,所以该格在两组标号中都必须为零。由两矩阵读出位置恰为 {(2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4)}\{(2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4)\}。