第2题

设实数

a_1,a_2,a_3,a_4,a_5

满足对

k=1,2,3,4,5

有

\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}

。求

\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}

的值（用一个分数表示）。

第 3/5 步：确定多项式恒等式

P(x)-x^2Q(x)=-\frac1{120}\prod_{k=1}^{5}(x^2-k^2)

详细分析

两边次数至多为 $10$ ，故 $P(x)-x^2Q(x)=A\prod_{k=1}^5(x^2-k^2)$ 。令 $x=0$ ，得 $A=P(0)/[(-1)(-4)(-9)(-16)(-25)]=-1/120$ 。