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亚太数学奥林匹克
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2009年
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第3题
第3题
平面上给定三个两两不相交且彼此外部相离的圆
Γ
1
,
Γ
2
,
Γ
3
\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3
Γ
1
,
Γ
2
,
Γ
3
。对平面上在三个圆外的每个点
P
P
P
，作六点
A
1
,
B
1
,
A
2
,
B
2
,
A
3
,
B
3
A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3
A
1
,
B
1
,
A
2
,
B
2
,
A
3
,
B
3
：对每个
i
=
1
,
2
,
3
i=1,2,3
i
=
1
,
2
,
3
，
A
i
,
B
i
A_i,B_i
A
i
,
B
i
是
Γ
i
\Gamma_i
Γ
i
上的不同点，且直线
P
A
i
PA_i
P
A
i
和
P
B
i
PB_i
P
B
i
都是
Γ
i
\Gamma_i
Γ
i
的切线。若三直线
A
1
B
1
,
A
2
B
2
,
A
3
B
3
A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3
A
1
B
1
,
A
2
B
2
,
A
3
B
3
共点，则称
P
P
P
为特殊点。证明所有特殊点（若存在）都在同一个圆上。
第 3/5 步：应用相似
上一步
下一步
△
P
A
i
O
i
∼
△
A
i
X
i
O
i
⟹
O
i
X
i
⋅
O
i
P
=
r
i
2
\triangle PA_iO_i\sim\triangle A_iX_iO_i\Longrightarrow O_iX_i\cdot O_iP=r_i^2
△
P
A
i
O
i
∼
△
A
i
X
i
O
i
⟹
O
i
X
i
⋅
O
i
P
=
r
i
2
详细分析
三角形 PA_iO_i 与 A_iX_iO_i 都是直角三角形且相似。因此 O_iX_i/O_iA_i=O_iA_i/O_iP，从而 O_iX_i·O_iP=O_iA_i^2=r_i^2。
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