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第5题

Larry 和 Rob 是乘一辆车从 Argovia 前往 Zillis 的两个机器人。两者都能控制方向盘并按如下算法驾驶:Larry 从出发起每行驶 ℓ\ell 千米左转 90°;Rob 每行驶 rr 千米右转 90°,其中 ℓ\ell 和 rr 是互素正整数。若两次转弯同时发生,车辆继续行驶而不改变方向。设地面平坦且车辆可向任意方向行驶。车辆从 Argovia 出发时朝向 Zillis。对于哪些数对 (ℓ,r)(\ell,r),无论两地相距多远,车辆都必定到达 Zillis?
第 1/6 步:将旅程分段
one section=ℓr km,Δθ≡ℓ−r(mod4)\text{one section}=\ell r\text{ km},\quad \Delta\theta\equiv\ell-r\pmod4
详细分析

考察长度为 ℓr\ell r 千米的连续分段。一段内有 r−1r-1 次左转和 ℓ−1\ell-1 次右转,终点同时发生的转弯相互抵消。因此净旋转由 ℓ−r\ell-r 模 44 决定,运动以改变初始方向的方式重复。