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第5题

Larry 和 Rob 是乘一辆车从 Argovia 前往 Zillis 的两个机器人。两者都能控制方向盘并按如下算法驾驶:Larry 从出发起每行驶 ℓ\ell 千米左转 90°;Rob 每行驶 rr 千米右转 90°,其中 ℓ\ell 和 rr 是互素正整数。若两次转弯同时发生,车辆继续行驶而不改变方向。设地面平坦且车辆可向任意方向行驶。车辆从 Argovia 出发时朝向 Zillis。对于哪些数对 (ℓ,r)(\ell,r),无论两地相距多远,车辆都必定到达 Zillis?
第 2/6 步:排除不同余数
ℓ−r≡2,1,3(mod4)⟹bounded path\ell-r\equiv2,1,3\pmod4\Longrightarrow\text{bounded path}
详细分析

若 ℓ−r≡2(mod4)\ell-r\equiv2\pmod4,一段后方向反转,第二段回到起点。若 ℓ−r≡1\ell-r\equiv1 或 3(mod4)3\pmod4,方向循环经过四个方位,四段后回到起点。在这些情形轨迹均有界,不能到达任意远的目的地。