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第5题

Larry 和 Rob 是乘一辆车从 Argovia 前往 Zillis 的两个机器人。两者都能控制方向盘并按如下算法驾驶：Larry 从出发起每行驶 ℓ\ell 千米左转 90°；Rob 每行驶 rr 千米右转 90°，其中 ℓ\ell 和 rr 是互素正整数。若两次转弯同时发生，车辆继续行驶而不改变方向。设地面平坦且车辆可向任意方向行驶。车辆从 Argovia 出发时朝向 Zillis。对于哪些数对 (ℓ,r)(\ell,r)，无论两地相距多远，车辆都必定到达 Zillis？
第 5/6 步：计算余数为 3 时的位移
上一步下一步
∑k=0ℓr−1mk=∑a=0ℓ−1ia∑b=0r−1(−i)b=1(ℓ≡r≡3(mod4))\sum_{k=0}^{\ell r-1}m_k=\sum_{a=0}^{\ell-1}i^a\sum_{b=0}^{r-1}(-i)^b=1\quad(\ell\equiv r\equiv3\pmod4)
详细分析

当 ell≡r≡3 (mod 4) 时，同样由中国剩余定理分解，两个等比和分别为 i 与 −i，乘积仍为 1。因此每段位移也恰为向东 1 千米。