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第5题

Larry 和 Rob 是乘一辆车从 Argovia 前往 Zillis 的两个机器人。两者都能控制方向盘并按如下算法驾驶：Larry 从出发起每行驶 ℓ\ell 千米左转 90°；Rob 每行驶 rr 千米右转 90°，其中 ℓ\ell 和 rr 是互素正整数。若两次转弯同时发生，车辆继续行驶而不改变方向。设地面平坦且车辆可向任意方向行驶。车辆从 Argovia 出发时朝向 Zillis。对于哪些数对 (ℓ,r)(\ell,r)，无论两地相距多远，车辆都必定到达 Zillis？
第 6/6 步：到达任意距离
上一步下一步
ℓ≡r≡1(mod4)orℓ≡r≡3(mod4)\boxed{\ell\equiv r\equiv1\pmod4\quad\text{or}\quad\ell\equiv r\equiv3\pmod4}
详细分析

当余数相等时，车辆每段都朝东开始，并在东侧一千米处结束。每段的第一个千米直向东行驶，所以车辆经过 x 轴上从 n−1 到 n 的每一点。因此恰当条件是 ell,r 同为 1 模 4 或同为 3 模 4，此时可到达任意正距离 d。