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亚太数学奥林匹克
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2011年
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第5题
第5题
求所有上有界函数
f
:
R
→
R
f:\mathbb R\to\mathbb R
f
:
R
→
R
，使其对任意实数
x
,
y
x,y
x
,
y
满足
f
(
x
f
(
y
)
)
+
y
f
(
x
)
=
x
f
(
y
)
+
f
(
x
y
)
f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)
f
(
x
f
(
y
))
+
y
f
(
x
)
=
x
f
(
y
)
+
f
(
x
y
)
。
第 3/7 步：使值域加倍
上一步
下一步
f
(
f
(
y
)
)
=
2
f
(
y
)
f(f(y))=2f(y)
f
(
f
(
y
))
=
2
f
(
y
)
详细分析
本步骤利用假设和公式
x
=
1
x=1
x
=
1
、
f
(
f
(
y
)
)
=
2
f
(
y
)
f(f(y))=2f(y)
f
(
f
(
y
))
=
2
f
(
y
)
、
t
t
t
、
2
n
t
2^nt
2
n
t
、
n
n
n
，推出所述结论。
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