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第2题

在2012×2012方格的每个小格中填入一个介于0和1（含端点）的实数。用一条平行于方格边的直线把方格分成两个非空的矩形格块。假设对任意这种分割，所得两个矩形中至少有一个的数字和不超过1。求所有填入数字总和的最大值。
第 3/5 步：使用分割条件
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a<c⟹R(1,a)>1 and R(a+1,n)>1.a<c\Longrightarrow R(1,a)>1\text{ and }R(a+1,n)>1.
详细分析

若a<c，则a的最大性给出R(1,a)>1，而c的最小性给出R(a+1,n)>1。在这两行之间分割会使两边总和都大于1，矛盾。因此a=c。