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亚太数学奥林匹克
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2014年
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第3题
第3题
求所有正整数
n
n
n
，使得对任意整数
k
k
k
，都存在整数
a
a
a
，令
a
3
+
a
−
k
a^3+a-k
a
3
+
a
−
k
被
n
n
n
整除。
第 1/4 步：三的幂可行
上一步
下一步
(
a
3
+
a
)
−
(
b
3
+
b
)
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
+
1
)
(a^3+a)-(b^3+b)=(a-b)(a^2+ab+b^2+1)
(
a
3
+
a
)
−
(
b
3
+
b
)
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
ab
+
b
2
+
1
)
详细分析
当模数为三的正幂时，若两个值相同，则有公式中的分解；直接模三检查可知第二因子不被三整除。因此 a 与 b 同余，有限剩余系上的映射为单射，从而为置换。模数一也成立。
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