第3题

若实数列

a_0,a_1,\ldots

满足：(i)

a_0

为正整数；(ii) 对每个非负整数

i

，

a_{i+1}=2a_i+1

或

a_{i+1}=\frac{a_i}{a_i+2}

；(iii) 存在正整数

k

使

a_k=2014

，则称其为好数列。求存在好数列且

a_n=2014

时最小的正整数

n

。

第 4/4 步：计算最小返回时间

2015=5\cdot13\cdot31,\qquad \operatorname{ord}_{2015}(2)=\operatorname{lcm}(4,12,5)=60

详细分析

二在模 5、13、31 下的阶分别为 4、12、5，因为 2^5=32 模 31 同余于 1；在它们乘积模下的阶为最小公倍数 60。第 60 步反向轨道分母为一，因而构成好数列，更小的正步数不可能。故答案为 60。