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第2题

设函数 f(x)f(x)、g(x)g(x) 为 f(x)=1x+1x−2+1x−4+⋯+1x−2018f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}，g(x)=1x−1+1x−3+1x−5+⋯+1x−2017g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}。证明：对满足 0<x<20180<x<2018 的任意非整数实数 xx，都有 ∣f(x)−g(x)∣>2|f(x)-g(x)|>2。
第 1/6 步：将 f、g 写成求和形式
上一步下一步
f(x)=∑k=010091x−2k,g(x)=∑k=010081x−(2k+1)f(x)=\sum_{k=0}^{1009}\frac1{x-2k},\qquad g(x)=\sum_{k=0}^{1008}\frac1{x-(2k+1)}
详细分析

函数 ff 是偶数位移 0,2,…,20180,2,\dots,2018 对应的 10101010 项之和，gg 是奇数位移 1,3,…,20171,3,\dots,2017 对应的 10091009 项之和。二者恰在整数 0,1,…,20180,1,\dots,2018 处无定义，题设已将这些值排除。