MathLabs

第3题

求所有正整数 kk,使得存在正整数 mm 与正整数集合 SS,使任意整数 n>mn>m 都恰好能表示成 SS 中互不相同元素之和的 kk 种方式。
第 4/5 步:S 的结构
S=T∪{x,2x,4x,8x,…},T finiteS=T\cup\{x,2x,4x,8x,\ldots\},\quad T\text{ finite}
详细分析

由引理可知,从某处起 SS 由公比为 22 的几何尾部构成:存在有限集合 TT 与正整数 xx,使 S=T∪{x,2x,4x,…}S=T\cup\{x,2x,4x,\ldots\}。