第3题

求所有正整数

k<202

，使得存在正整数

n

满足

\left\{\frac{n}{202}\right\}+\left\{\frac{2n}{202}\right\}+\cdots+\left\{\frac{kn}{202}\right\}=\frac{k}{2},

其中

\{x\}

表示

x

的小数部分。（即

\{x\}

是满足

0\le r<1

且

x-r

为整数的实数

r

。）

第 1/5 步：先处理余数 n=0 与 n=101

上一步下一步

n=0\Rightarrow\text{sum}=0\ne\tfrac{k}{2};\qquad n=101\Rightarrow\text{condition holds}\iff k=1

详细分析

由于 $\{in/202\}$ 只依赖于 $n$ 模 $202$ 的余数，故只需考虑 $0\le n<202$ 。若 $n=0$ ，每一项都为 $0$ ，故等式对任何 $k$ 都不成立。若 $n=101$ ，直接验证可知等式成立当且仅当 $k=1$ 。以下设 $101\nmid n$ 。