第3题

设

P(x)

为整系数非常数多项式，且

P(0)\neq0

。设

a_1,a_2,a_3,\ldots

为一无穷整数数列，使得对任意不同的正整数

i,j

，

P(i-j)

都整除

a_i-a_j

。证明数列

a_1,a_2,a_3,\ldots

必为常数，即对每个正整数

n

，

a_n

都等于某个常数

c

。

第 1/5 步：限制 P(k) 与 k 的最大公约数

\gcd(P(k),k)=\gcd(a_0,k)\le|a_0|,\qquad a_0=P(0)

详细分析

设 $a_0=P(0)\neq0$ 为 $P$ 的常数项。由于 $P$ 系数为整数， $P(k)-a_0$ 能被 $k$ 整除，故对每个正整数 $k$ 都有 $\gcd(P(k),k)=\gcd(a_0,k)\le|a_0|$ 。