第4题

设

n\ge 3

为整数。圆周上有

n

个格子，每个格子赋值为 0 或 1，一只公鸡位于其中一个格子。反复进行如下操作：若公鸡位于赋值 0 的格子，就把该数改为 1，并逆时针移动到下一个格子；若公鸡位于赋值 1 的格子，就把该数改为 0，并逆时针跳过一个格子移动到下下个格子。证明经过充分多次操作后，每当公鸡位于格子

C

，它恰好绕圆周三周并再次停在

C

，且每个格子的数都与这三周开始之前的数相同。

第 6/8 步：使所有格子获得该模式

上一步下一步

2\text{ stops and }1\text{ bypass}

详细分析

从第四步得到的位置出发，沿圆周反复应用第五步，充分之后每个位置都会在同一个连续三圈的区块中呈现 $2\text{ stops and }1\text{ bypass}$ 模式。不能连续跳过两次的规则迫使该模式在下一圈继续：旧区块中的跳过之后必为停止，而两次停止决定剩余的一次。归纳可得，之后每个连续三圈区块的每个格子都具有此模式。