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第5题

在线段 ABAB 内任取一点 MM。在 ABAB 同侧作正方形 AMCDAMCD 与 MBEFMBEF,其外接圆圆心分别为 PP 与 QQ。两外接圆再次相交于 NN。设 N′N' 为直线 AFAF 与 BCBC 的交点。(a)证明 N=N′N=N'。(b)证明 MNMN 经过一个与 MM 无关的定点。(c)当 MM 变化时,求 PQPQ 中点的轨迹。
第 1/5 步：利用全等直角三角形
上一步下一步
通俗地说

两个正方形使得 MM 周围的两部分成为全等直角三角形。

△AFM≅△CBM⟹∠AN′B=90∘\triangle AFM\cong\triangle CBM\quad\Longrightarrow\quad\angle AN'B=90^\circ
详细分析

由于 AM=CMAM=CM、MB=MFMB=MF,且正方形提供直角,三角形 AFMAFM 与 CBMCBM 全等。因此它们与 ABAB 所成的角互余,在 N′=AF∩BCN'=AF\cap BC 处有 ∠AN′B=90∘\angle AN'B=90^\circ。